O princípio da inclusão-exclusão e o cálculo de permanentes

• Published in: Remat (Bento Gonçalves) Vol. 10; no. 2; p. e3005
• Main Author: Mendonça, José Ricardo Gonçalves de
• Format: Journal Article
• Language: English; Portuguese
• Published: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul (IFRS) 30.09.2024
• Subjects: algoritmo de Ryser; análise combinatória; matemática discreta; partição de conjuntos; problemas #P-completos
• ISSN: 2447-2689; 2447-2689
• DOI: 10.35819/remat2024v10i2id6987

In this article we review the inclusion-exclusion principle (PIE) from set theoretical and algebraic points of view and discuss its application to the calculation of permanents, a subject that is not normally covered in undergraduate courses. The presentation is intended to be rigorous but elementary, accessible to first-year students in mathematics, science, and engineering programs, requiring only familiarity with set notation, arithmetic and matrix algebra. In dealing with the calculation of permanents, we present the Ryser algorithm, one of the most spectacular developments in the approach to difficult combinatorial problems, whose computational complexity we briefly discuss. The article contains examples, complementary notes, and a program in Python that implements Ryser's algorithm using Gray codes to calculate permanents, accompanied by its discussion. En este artículo revisamos el principio de inclusión-exclusión (PIE) desde puntos de vista conjuntista y algebraico y discutimos su aplicación al cálculo de permanentes, un tema que normalmente no se trata en los cursos de pregrado. La presentación busca ser rigurosa pero elemental y accesible para los estudiantes en los primeros años en programas de matemáticas, ciencias e ingeniería, y que sólo requiera familiaridad con la notación de conjuntos, aritmética y el álgebra matricial. Al abordar el cálculo de permanentes, presentamos el algoritmo de Ryser, uno de los desarrollos más espectaculares en el abordaje de problemas combinatorios difíciles, cuya complejidad computacional discutimos brevemente. El artículo contiene ejemplos, notas complementarias y un programa Python que implementa el algoritmo de Ryser utilizando códigos de Gray para calcular permanentes, acompañado de su discusión. Neste artigo revisamos o princípio da inclusão-exclusão (PIE) sob os pontos de vista conjuntista e algébrico e discutimos sua aplicação ao cálculo de permanentes, um assunto que normalmente não é abordado em cursos de graduação. A apresentação procura ser rigorosa porém elementar e acessível a alunos dos anos iniciais de cursos de licenciatura ou bacharelado em matemática, ciências e engenharias, exigindo somente familiaridade com notação de conjuntos, aritmética e álgebra de matrizes. No tratamento do cálculo de permanentes, apresentamos o algoritmo de Ryser, um dos desenvolvimentos mais espetaculares na abordagem de problemas combinatoriais difíceis, cuja complexidade algorítmica discutimos brevemente. O artigo inclui exemplos, notas complementares e um programa em Python que implementa o algoritmo de Ryser usando códigos de Gray para o cálculo de permanentes, juntamente com sua discussão.