混合状態に対する量子情報量とホログラフィー原理 - 玉岡, 幸太郎; 梅本, 滉嗣 (日本物理学会誌, 2020)
時空，そして重力の微視的起源を明らかにすることが，物理学における究極の問いの一つであることは間違いないだろう．近年，この問題を考える上で，量子コンピュータなどの基礎ともなる量子情報科学に基づいたアプローチが重要視されている．この問いは，「重力の量子論がどのように定式化されるか?」と換言できる．重力の量子化は，歴代の物理学者による挑戦を跳ねのけ続けてきた難しい問題だが，この困難を克服できる可能性の一つがホログラフィー原理である．これは，「D＋1次元の量子重力理論は，D次元の重力を含まない量子多体系と等価である」という作業仮説である．実際に，量子重力理論の有力候補である超弦理論において，このホログラフィー原理を具現化したAdS/CFT対応が発見された．この具体例を通して，ホログラフィー原理の核心を明らかにすべく，数多くの研究が進められている．この文脈において，昨今では量子情報というキーワードを基にした新しい発展が続いている．その火付け役となったのが，D次元量子多体系のエンタングルメント・エントロピーとD＋1次元重力理論のある種の曲面の面積が等しいことを明らかにした，笠–高柳公式である．エンタングルメント・エントロピーは，純粋状態にある2体系の量子もつれ（エンタングルメント）を定量化する情報量である．一方，面積は時空の曲がり方から一意に決まる幾何学量のため，この公式は「量子相関の構造」と「時空の曲がり方の構造」に密接な関係があることを示唆している．ところが，熱状態などの混合状態を考え始めると，エンタングルメント・エントロピーはもはや量子もつれを定量化する情報量ではなくなってしまう．これと対応するように，笠–高柳公式に現れる幾何学量だけでは，時空の計量を完全に決定できないことも知られている．事実，エンタングルメント・エントロピーの混合状態への一般化は量子情報理論におけるテーマの一つであり，これまでも文脈に応じて無数の情報量が提案されてきた．我々は少し見方を変えて，「ホログラフィー原理の観点から“良い”量子情報量は存在するか」という問いを考えた．その結果として，笠–高柳公式の一般化を与えるような“良い”量子情報量の候補を二つ発見した．一つは純粋化量子もつれと呼ばれるよく知られた量，もう一つはオッドエントロピーと呼ばれる新しく導入された量である．どちらの量も，純粋状態に対してはエンタングルメント・エントロピーと等価である．我々は，これらの情報量が，重力理論と等価な量子多体系において，笠–高柳公式に現れる曲面を一般化したもの（エンタングルメント・ウェッジ・クロスセクションと呼ばれる）の面積と等価であることを様々な観点（情報量と幾何学量の満たす不等式の一致や，重力と量子多体系における直接計算の一致など）から示し，一般に成り立つことを予想した．これらの発見は，単なる公式の一般化にとどまらず，従来の予想（重力理論とホログラフィックに等価な量子多体系では，2体量子相関が支配的である）に修正が必要であることを明らかにするなど，前述の「ホログラフィー原理が成り立つ上で何が重要か?」に対して新しい知見を与え始めている．また，このような情報量はホログラフィー原理の理解を超えて，様々な分野で有用である可能性が高く，今後の更なる発展，応用が期待される．