Bifurcações em Redes Hamiltonianas Acopladas e o Problema dos Três Corpos

• Published in: Trends in Computational and Applied Mathematics Vol. 25; no. 1; p. e01571
• Main Author: Melo, A.
• Format: Journal Article
• Language: English; Portuguese
• Published: Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional - SBMAC 16.10.2024; Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional
• Subjects: bifurcação de equilíbrio; células acopladas; MATHEMATICS; MATHEMATICS, APPLIED; sistemas hamiltonianos; subespaço de sincronia; bifurcação de equilíbrio; synchrony subspace; subespaço de sincronia; hamiltonian systems; sistemas hamiltonianos; equilibrium bifurcation; células acopladas; coupled cells
• ISSN: 2676-0029; 2676-0029
• DOI: 10.5540/tcam.2024.025.e01571

O formalismo de células acopladas é um jeito sistemático de representar e estudar equações diferenciais acopladas não-lineares usando grafos direcionados. Vericamos que apenas digrafos acoplados bidirecionalmente podem representar sistemas hamiltonianos. Apresentamos resultados recentes em redes de sistemas hamiltonianos acoplados linearizados com uma discussão do teorema de Hopf hamiltoniano neste contexto. Mostramos que o autoespaço numa bifurcação de codimensão um de um equilíbrio síncrono de uma rede regular hamiltoniana pode ser expresso em termos dos autoespaços da matriz de adjacência do digrafo associado. Exibimos uma versão do teorema do centro de Lyapunov para esse tipo de rede e sua conexão com o Problema Restrito dos Três Corpos. The coupled cell formalism is a systematic way of representing and studying nonlinear coupled differential equations using directed graphs. We observed that only bidirectionally coupled digraphs can represent Hamiltonian systems. We present recent results in networks of linearized coupled Hamiltonian systems with a discussion of the Hamiltonian Hopf theorem in this context. We show that the eigenspace in a bifurcation of codimension one of a synchronous equilibrium of a regular Hamiltonian network can be expressed in terms of the eigenspaces of the adjacency matrix of the associated digraph. We display a version of the Lyapunov center theorem for this type of network.